Thiemes Zettel vom 05.05.2022

Spaß an Mathematik?

Wer in der Schule mit Latein groß geworden ist und danach obendrein Mathematik studiert hat, hat es im Leben schwer. Sobald er sich anschickt, einen normalen Satz zu sprechen oder gar zu schreiben, kommt als erster Entwurf ein Monster heraus, bei dem alles stimmt – und das dementsprechend kein Mensch versteht. Alle grammatikalischen Bezüge werden korrekt sein. Einen Artikel oder ein Adjektiv zum Beispiel wird der arme Mensch notfalls lieber in der jeweils korrekten Form zweimal benutzen, damit grammatikalisch alles stimmt. Ein Beispiel gefällig? Gerade hatten wir eines, nämlich den obigen Satz „Einen Artikel oder ein Adjektiv …“ Es ist kein besonders gutes Beispiel, aber es passt schon. Viele würden in diesem Satz das zweite „ein“ weglassen.

Aber der arme Mensch muss sich nicht nur um die Grammatik kümmern, sondern zum Beispiel auch um Präzision, und an dieser Stelle kommt zum ersten Mal die Mathematik ins Spiel. Denken wir uns, einer sagt, dass es aus einer bestimmten unerfreulichen Situation einen Ausweg gebe. Was meint er genau? Gibt es eventuell auch weitere, oder will er uns sagen, dass es einen Ausweg gibt, und nur diesen einen? Beim Sprechen ist das kein Problem. Jeder wird den Satz so betonen, dass die Botschaft eindeutig ist, indem er entweder das Wort einen betont oder das Wort Ausweg. Manche aber sprechen nicht nur so, was völlig in Ordnung ist, sondern schreiben ihre Sätze auch mehrdeutig auf, als könnten sie darauf vertrauen, dass jeder Leser beim Lesen automatisch die richtige Betonung mithören wird.

Es genügt, eine Zeit lang aufmerksam die Nachrichten im Radio zu verfolgen. Früher oder später kommen solche Beispiele vor – nach meinem Eindruck eher früher als später. Aber ich bin halt sensibilisiert. Müsste ich Nachrichtentexte schreiben, so würde ich peinlich genau darauf achten, dass beim Vorlesen meiner Texte sinnwidrige Betonungen einfach nicht vorkommen können, auch wenn jemand sie unvorbereitet vorlesen muss, sozusagen „vom Blatt“. Darauf achten? Im Grunde müsste ich auf das Gegenteil achten. Ich müsste aufpassen, dass meine Nachrichten vor lauter Richtigkeit nicht richtig schwer verdaulich werden.

Was würde ich also schreiben, wenn ich die Sache mit dem Ausweg klar haben will: Entweder könnte ich zum Beispiel sagen, dass es doch durchaus einen Ausweg gibt, wobei es dann auch zwei sein könnten. Oder es kommt mir darauf an zu betonen, dass es nur einen einzigen gibt, aber diesen einen auch wirklich. Dann könnte ich sagen, dass es einen, aber auch nur diesen einen Ausweg gibt. Oder ich sage kürzer, dass es genau einen Ausweg gibt.

In der Mathematik würde man entweder sagen, dass für eine Gleichung eine Lösung existiert, wenn es evtl. auch mehrere sein können. Man kann dann auch sagen mindestens eine. Wenn es wirklich nur die eine Lösung gibt, würde man sagen, dass die Gleichung genau eine Lösung hat. Für beides gibt es sogar symbolische Schreibweisen. Ein gedrehtes E bedeutet, dass ein Objekt existiert, das die entsprechende Bedingung erfüllt, zum Beispiel eine Zahl zwischen 2 und 8. Wenn eine kleine Ziffer 1 angefügt ist, dann gibt es die betreffende Sache genau einmal, also Z.B eine Zahl zwischen 2 und 4. Hätte ich gleich mit diesen Symbolen angefangen, na ja: Mathematik versteht doch keiner…

Und was heißt eigentlich „Zahl“? So wie man zählt, oder so wie am Zollstock? Beim Zählen ist nur die 3 dazwischen, am Zollstock ist es stufenlos. Und überhaupt! Sollen bei der Vorgabe zwischen 2 und 4 die Ränder, also 2 und 4, dabei sein oder nicht? Meistens wirkt die Mathematik mit ihren Formalismen nur deshalb kompliziert, weil sie genau sein will. Eigentlich macht mir das die Sache doch leichter, aber irgendwie doch nicht immer. Vor allem die Umgangssprache profitiert manchmal davon, dass sie unscharf ist, entweder absichtlich oder unbewusst. Übrigens: genau ein Euro (und nicht 1,03 €) kommt in der Mathematik nicht vor. Wenn das Rechenergebnis lautet ein Euro, dann braucht es dazu kein genau.

Falscher Name, grüner Mond

Und es geht ja noch weiter. Denn natürlich soll mein Satz grammatikalisch korrekt und in der Aussage eindeutig sein. Vor allem aber soll er doch auch stimmen! Aber stimmen oder nicht, das liegt doch nun allein an mir, oder gibt es da schon wieder Mathematik? Der Mond ist ein grüner Käse – das stimmt sicher nicht. Wenn ich aber sage: Wenn ich Isolde von Tunichtgut heiße, dann ist der Mond ein grüner Käse, dann stimmt mein Satz, weil ich so nicht heiße. Jeder wird den Clou verstehen, ganz ohne Mathematik. Der Satz hat etwas Ironisches oder Witziges, weil er die Aussage ich heiße nicht Isolde von Tunichtgut mit dem Scherz vom grünen Mond besonders hervorhebt. Der Satz ist aber auch im Sinne der mathematischen Logik wahr, obwohl die Mathematik eher humorlos daherkommt. Die Regel heißt nämlich: „Der Satz aus a folgt b ist wahr, wenn a falsch ist“. Ohne das einführende Beispiel mit dem grünen Käse wäre das wohl ziemlich unverständlich gewesen!? Denn natürlich kann etwas Wahrem mathematisch nur etwas Wahres folgen, das entspricht der spontanen Erwartung. Aus etwas Falschem jedoch kann Beliebiges folgen. Ex falso quodlibet, so heißt die Regel auf Lateinisch. Aber Vorsicht! Wenn der heute pünktlich kommt, heiße ich Meier. Das sieht zwar auch aus wie Mathematik, hat aber eher den Charakter einer Wette. Der Betreffende könnte ja ausnahmsweise doch mal pünktlich kommen, es ist nur unwahrscheinlich. Von der Aussage er wird pünktlich kommen steht also nicht fest, ob sie wahr ist oder falsch.

Daher muss, sagt die Mathematik, zu dem Beispiel vom grünen Mond noch etwas dazu: Wer garantiert mir denn, dass der Autor dieser Zeilen nicht plötzlich doch Isolde von Tunichtgut heißt? Dann wäre unser wenn-dann-Satz nämlich falsch, weil eben aus etwas Wahren kein Unsinn folgen kann. Wir haben es also mit einer Aussage zu tun, die entweder wahr oder falsch sein kann. Wenn wir uns jedoch an Stelle von Ich heiße Isolde von Tunichtgut die Aussage denken 1 + 1 = 10, dann wird es einfacher. Dann weiß die Mathematik nämlich, dass diese Aussage auf jedem Fall falsch ist, und dann passt der wenn-dann-Satz auf jedem Fall.

Wirklich auf jedem Fall? Wir müssen dazu voraussetzen, dass sich die Gleichung nicht auf das duale System aus lediglich Nullen und Einsen bezieht, wie es im Computer benutzt wird. In diesem Zahlensystem nämlich wäre 10 (eins-null) die Schreibweise für die Zahl zwei …

Wer sich also lange genug mit Mathematik herumgeschlagen hat, hat sich nicht nur angewöhnt, sprachlich und logisch präzise zu sein. Vielmehr hat sich in seinen Genen auch noch festgesetzt, dass jede Aussage, sobald sie erst dasteht, auf mögliche Einschränkungen hin untersucht werden will, und dass jedes Mal zu prüfen ist, unter welchen Voraussetzungen sie gilt. Vielleicht entwickeln Sie mittlerweile schon eine Art von Mitleid mit dem, der unter all dieser Last ab und zu einen verständlichen Satz hinschreiben möchte? Ich kann das gern an die bis hierher durchgehalten habende Leserschaft zurückgeben: Danke, dass Sie noch dabei sind …

Ja, Herr Thieme, man merkt es ihnen halt immer wieder an, dass sie ein Mathematiker sind – Uupf! Was für ein Schwinger in die Magengrube! Habe ich doch das mathematische Handwerk seit dem Diplom kaum je nennenswert ausgeübt! Wie es kommt, dass ich trotzdem so leicht „erkannt“ werde, habe ich ja nun beschrieben. Und dann kommt an dieser Stelle zu allem Überfluss auch noch das Altgriechische ins Spiel. Andrea Marcolongo, eine italienische Griechisch-Professorin, hat in ihrem Buch Griechisch, die geniale Sprache beschrieben, woran sie es erkennt, wenn sie den Text eines griechisch geprägten Verfassers vor sich hat. Sie registriert als Insiderin sofort die häufige Wiederholung von abwägenden Sätzen nach dem Muster einerseits – andererseits. Solche Sätze hatten die alten Griechen in ihrer DNA und folglich dann auch in ihrer Sprache, oder waren Ursache und Wirkung umgekehrt? Wobei Latein allein ja auch schon wirkt. Was gibt es für den alten Römer Schöneres, als in seine Sätze jeweils alles mit reinzupacken, was im engeren oder auch weiteren Sinn dazugehört – jedenfalls ab und zu. Damit aber niemand meine Selbstironie im Umgang mit den alten Sprachen missverstehen möge: Griechisch würde ich jederzeit wieder lernen, und Latein sowieso. Obwohl beide das gefällige Schreiben nur manchmal erleichtern und es bei anderen Gelegenheiten geradezu boykottieren.

Jetzt wird’s kurzzeitig etwas haariger…

Hätte ich mich in der Schule der Musik wirklich geöffnet, müsste dieser Zettel jetzt um einen weiteren Aspekt verlängert werden: Mathematik und Musik, Mathematik und J. S. Bach. Da es nicht so gewesen ist, bleibt mir nur übrig, auf Douglas R. Hofstadters Buch aus den 1980-er Jahren zu verweisen: Gödel, Escher, Bach. Escher und Bach kennen alle. Aber Gödel? – Kurt Gödel war eines der größten mathematischen Genies des 20. Jahrhunderts. Sein Thema war der Beweis, dass es keine regelbasierte „Grammatik“ geben kann, mit der sich systematisch alle in ihr möglichen Sätze („Wahrheiten“) hervorbringen lassen, ohne dass die Resultate widersprüchlich werden. Zu schwierig? – Dem Beweis Gödels folgen zu können, ist tatsächlich nur wenigen gegeben, und mit weniger als hundert Seiten Erklärung braucht es keiner auch nur zu versuchen. Nur so viel: Mit seinem Beweis zertrümmert er den philosophischen oder theologischen Traum, mit den Mitteln der Logik ein abgeschlossenes Gebäude aller existierenden Wahrheiten ableiten zu können.

Der erste, der diese Ide formuliert hatte, ist wohl der Spanier Raimundus Lulllus. In seinem zentralen Werk, der Ars Magna, versucht er schon um das Jahr 1300, den Erkenntnisprozess zu mechanisieren. Es ist ein abstraktes, kombinatorisches System, eine Denkmaschine, ein Vorläufer moderner Programmiersprachen (zitiert nach: www.deutschlandfunk.de/der-mittelalterliche-denker-raimundus-lullus-gott-mit-dem-100.html, Stand 4.4.2022, 22:00 Uhr).

Gödel light: Auf einer Insel lebt ein Friseur, der alle Männer rasiert, die sich nicht selbst rasieren. Frage: Was passiert mit ihm selber? Rasiert er sich, oder rasiert er sich nicht? – Viel Spaß beim Verrücktwerden… Solche selbstbezüglichen Aussagen spielen in Gödels Beweis eine wichtige Rolle. Und an dieser Stelle bringt Hofstadter die Analogie zwischen Gödels Theorem, Eschers Bildern und Bachs Musik ins Spiel: Bach mit seiner mathematischen Strenge der Komposition, etwa beim Krebskanon, und Escher mit jenen berühmten Konstrukten, die immer wieder in sich selbst münden. So didaktisch meisterhaft Hofstadters Idee auch ist – am Ende nützt auch sie nicht so arg viel. Und weil das so ist, werden wir weder Kurt Gödels Theorem noch dessen abstrakte Nähe zu Bachs Musik und Eschers Bildern weiter vertiefen.

Es soll ja weiterhin irgendwie Spaß machen, und Spaß an Mathematik, das geht wirklich. Manchmal steht nur die Angst vor der gefühlten Schwierigkeit im Wege. Und das Fremdeln mit den tausend Formalismen, die sich lange Zeit zwischen mich und meine Vorstellungskraft schieben. Hätte ich den spaßigen Gedanken vom Inselfriseur „mathematisch korrekt“ formuliert – schwupp, Spaß vorbei. Ich sage damit übrigens nicht, dass alle Menschen theoretisch Spaß an Mathematik haben müssten, aber das ist beim Weitsprung oder anderen Künsten auch nicht anders. Mit Training können viele vieles erreichen, wenn auch nicht alle alles.

Pythagoras und die letzte Vermutung von Fermat

a2 + b2 = c2. So hat es Pythagoras einst in den Sand gekritzelt, und seither lernen es die Kinder im Gymnasium. Mehr als 2000 Jahre später dachte ein französischer Hobby-Mathematiker, im Hauptberuf war er Jurist, darüber nach, ob das auch für andere Zahlen als 2 funktioniert, d.h. genauer, ob es auch dafür Lösungen mit natürlichen Zahlen gibt, also ohne Kommastellen. Und er fand: Es funktioniert tatsächlich nur mit 2 und keiner anderen der unendlich vielen Zahlen. Das schrieb er auf den Rand des Buches, in welchem er gerade las, und dazu notierte er, dass er dafür einen wunderbaren Beweis gefunden habe, der aber hier gerade keinen Platz hat – und starb. Und weil sich alles, was jener Pierre de Fermat in seinem Leben mathematisch je angestellt hatte, als richtig erwies, hat die Welt ihm auch das geglaubt. Mehr als 300 Jahre lang, und nach und nach haben die Mathematiker den Satz so behandelt, als wäre er schon bewiesen, und auch während meines Studiums war das noch so. Viele haben seit Fermat probiert, den Satz zu beweisen, und wunderbare Geschichten gibt es. Da ist der reiche Erbe, der sich um Mitternacht erschießen will, wohl aus Liebeskummer. Für die Stunden bis dahin verkriecht sich der Ärmste in seine Bibliothek, wo er auf das Fermat-Problem stößt. Als er wieder herauskam, graute der Morgen. Fermat hatte ihn gerettet. Mit seinem Vermögen errichtete er später eine Stiftung für den, der das Problem dereinst lösen würde. Seit wenigen Jahrzehnten ist es tatsächlich gelöst, und der Weg dorthin ist reich an weiteren, absoluten Wahnsinns-Geschichten…

Von Kamelen und Abgeordneten

Die Verpackung der folgenden Geschichte entnehme ich dem Büchlein von Karl Meininger, aus dem ich mich schon bei der Sache mit den Freunden und den Käslein im Juni 2021 bedient hatte (Ali Baba und die 39 Kamele, Oldenbourg-Verlag München und Berlin, 1941). Diesmal ist die Titelgeschichte dran, in der der alte Ali Baba, als es ans Sterben geht, den Kindern seine 39 Kamele vererbte, und diesen Nachlass mit einer derart seltsamen Teilungsvorschrift verband, dass die Erben ratlos umherstanden und sich keinen anderen Rat wussten, als die 39 Tiere allesamt zu schlachten, um wenigstens das Fleisch nach dem letzten Willen des Vaters aufzuteilen. Denn das Problem schien mathematisch unlösbar! Sollte laut Testament doch der Älteste die Hälfte der Tiere bekommen, also die Hälfte von 39, und der zweite Sohn ein Viertel, der dritte ein Achtel und die Tochter sollte, da sie unter dem Dach der Brüder lebt, ein Zehntel bekommen.

Als sie nun so dastanden und sinnierten, kam ein Freund mit seinem einen Kamel vorbei, hörte den Kummer und handelte. Er nahm sein eigenes Kamel, stellte es zu den 39 anderen und sagte: Macht euch keine Sorgen! Nehmt einfach mein Kamel dazu, dann haben wir das gleich. Du, ältester Sohn, nimmst dir die Hälfte, wie vom Vater angeordnet. – Aber das geht doch nicht, ich kann doch nicht einfach … – Wart’s nur ab!

Wir können es kurz machen: alle nehmen sich aus den Vierzig genau den Anteil, den der Vater für die Neununddreißig befohlen hatte, und, siehe da, alles ging genau auf, jeder hat seinen Anteil. Und der Freund? – Ja, der nahm sein eigenes Kamel wieder mit und zog mit ihm seines Weges. Zauberei? Ich will niemanden leiden lassen, daher hier die Erklärung. Der Freund hatte erkannt, dass sich die Bruchteile in Vaters Testament nicht ganz zu 100 Prozent ergänzten. Vielmehr war da etwas „Luft“ drin. Durch die Hinzunahme des eigenen Kamels konnte der Freund die vorhandene Luft gerecht auf die Kinder verteilen – gerecht in dem Sinn, dass die vielleicht ungerechte Vorgabe des Vaters nicht unterlaufen wurde. Aber wir wissen ja auch nicht, was der Vater sich dabei gedacht hatte. Seinen letzten Willen jedenfalls bekam er erfüllt, und geduldige Leser*innen mögen selber etwas herumrechnen, um den Zauber zu entzaubern.

So war das mit den Kamelen. Und die Abgeordneten? Stellen wir uns vor, es waren gerade Wahlen. Jede Partei hat einen bestimmten Prozentsatz bekommen, und nun sollen die Mandate verteilt werden. Das Problem ist das gleiche wie bei den Kamelen: die Prozente passen nicht zur Zahl der Mandate, und Abgeordnete wird man so wenig schlachten und stückweise aufteilen wollen wie Kamele. Um aber Abgeordnete nicht mit einer Kamel-Formel kompromittieren zu müssen, hat man für sie zwar ähnliche, aber etwas komplexere Rechenmethoden entwickelt.

Im Ergebnis ist es gleich. So wie die Erben zufrieden mit ihren Kamelen abzogen, so versammeln die Spitzenkandidaten nach der Wahl die ihnen durch Wählerwillen und Mathematik zugewiesenen Schäflein, und alle präsentieren sich irgendwie als Gewinner. Das verdanken sie wohl einer geheimnisvollen Form der transzendentalen, also jede Grenze der mathematischen Rationalität überwindenden Form der subjektiven Rechenkunst, die manchmal für fast jedes erwünschte Ergebnis den passenden Rechenweg zu finden scheint, sei es am Wahlabend, bei der Debatte über die Neuverschuldung oder überall sonst, wo Politik und Zahlen sich unermüdlich auf Neue in ihrer stets glücklosen Liaison versuchen ...

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